Question

【题目】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC中点．
（1）求证：C1D⊥D1E；
（2）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，

设AD=a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，1，0），C（0，1，0），

B1（a，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），E（ ，1，0），

∴ =（0，﹣1，﹣1）， =（ ，1，﹣1），

则 =0，

∴C1D⊥D1E．

（2）解：设平面AD1E的法向量为 =（x，y，z），

=（﹣ ，1，0）， =（﹣a，0，1），

则 ，取x=2，得平面AD1E的一个法向量为 =（2，a，2a），

设平面B1AE的法向量为 =（x′，y′，z′），

=（﹣ ，1，0）， =（0，1，1），

则 ，取x′=2，得 =（2，a，﹣a）．

∵二面角B1AED1的大小为90°，

∴ ⊥ ，∴ =4+a2﹣2a2=0，

∵a＞0，∴a=2，即AD=2

【解析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能证明C1D⊥D1E．（2）求出平面AD1E的法向量和平面B1AE的法向量，由二面角B1AED1的大小为90°，能求出AD的长．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．