题目内容
【题目】如图, 是
直径,
所在的平面,
是圆周上不同于
的动点.
(1)证明:平面 平面
;
(2)若 ,且当二面角
的正切值为
时,求直线
与平面
所成的角的正弦值.
【答案】
(1)证明:∵ 在圆
上,
为圆
的直径,
∴ ,
又∵ 所在的平面,∴
,
而 ,∴
平面
,
由于 平面
,∴平面
平面
(2)解:如图,过 作
于
,连接
,
∵ 平面
,∴
,
∴ 平面
,则
即为所求的角,
∵ 平面
,
∴ 为二面角
的平面角.
又 ,
,∴
,
在 中,
,
在 中,
,
即直线 与平面
所成的角的正弦值为
.
【解析】(1)根据题意首先利用圆的性质可得 B C ⊥ AC,利用线面垂直可得 B C ⊥ P A再根据线面垂直的判定定理即可得出B C ⊥ 平面 P A C 然后即可得出面面垂直。(2)首先根据二面角的定义可得二面角的平面角 ∠ P C A,再根据题意作出辅助线进而得出直线AB与平面PBC所成的角在结合解三角形的知识即可得出结论。
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和直线与平面垂直的性质,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题.
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