Question

8．某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）．
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？

Answer 1

分析 （1）通过$a=\frac{1}{2}$，化简$f（x）=|{{{log}_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}}|+2≥2$，求出x=4．得到一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．
（2）设t=log₂₅（x+1），设g（t）=|t-a|+2a+1，t∈[0，1]，得到$g（t）=\left\{\begin{array}{l}-t+3a+1，0≤t≤a\\ t+a+1，a＜t≤1\end{array}\right.$，利用分段函数，函数的单调性最值求解即可．

解答 解：（1）因为$a=\frac{1}{2}$，则$f（x）=|{{{log}_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}}|+2≥2$．…（2分）
当f（x）=2时，${log_{25}}（{x+1}）-\frac{1}{2}=0$，得$x+1={25^{\frac{1}{2}}}=5$，
即x=4．所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．…（4分）
（2）设t=log₂₅（x+1），则当0≤x≤24时，0≤t≤1．
设g（t）=|t-a|+2a+1，t∈[0，1]，
则$g（t）=\left\{\begin{array}{l}-t+3a+1，0≤t≤a\\ t+a+1，a＜t≤1\end{array}\right.$，…（7分）
显然g（t）在[0，a]上是减函数，在[a，1]上是增函数，
则f（x）_max=max{g（0），g（1）}，…（9分）
因为g（0）=3a+1，g（1）=a+2，
则有 $\left\{{\begin{array}{l}{g（0）=3a+1≤3}\\{g（1）=a+2≤3}\end{array}}\right.$，解得$a≤\frac{2}{3}$，…（11分）
又a∈（0，1），故调节参数a应控制在$（0，\frac{2}{3}]$内．…（12分）

点评 本题考查函数的实际应用，分段函数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．