题目内容

14．已知f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$+xex，定义a1（x）=f'（x），a2（x）=[a1（x）]′，…，an+1（x）=[an（x）]′，n∈N*．经计算令a1（x）=$\frac{1-x}{e^x}+（{x+1}）{e^x}，{a_2}（x）=\frac{x-2}{e^x}+（{x+2}）{e^x}，{a_3}（x）=\frac{3-x}{e^x}+（{x+3}）{e^x}$，…，令g（x）=a2017（x），则g（1）=2018e+$\frac{2016}{e}$．

分析 根据题意，归纳分析可得a2017（x）=（2017+x）•ex+$\frac{2017-x}{{e}^{x}}$，又由g（x）=a2017（x），计算可得则g（1）的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$+xex，经计算令a1（x）=$\frac{1-x}{e^x}+（{x+1}）{e^x}，{a_2}（x）=\frac{x-2}{e^x}+（{x+2}）{e^x}，{a_3}（x）=\frac{3-x}{e^x}+（{x+3}）{e^x}$，…，
则a2017（x）=（2017+x）•ex+$\frac{2017-x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=a2017（x），则g（1）=2018e+$\frac{2016}{e}$；
故答案为：2018e+$\frac{2016}{e}$．

点评 本题考查归纳推理的运用，关键是分析得到g（x）的解析式．

练习册系列答案
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4．函数f（x）=x3-3x2-7x-4的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为（　　）
A．2x-y+1=0B．2x-y-1=0C．2x+y+3=0D．2x+y-3=0
5．观察下列不等式
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{3}{2}$
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{5}{3}$
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$，…
照此规律，第n个不等式为$1+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{2n+1}{n+1}$．
2．下面程序框图输出的结果是（　　）
A．3B．12C．60D．360
9．定义n！=1×2×…×n，下面是求10！的程序，则_____处应填的条件是（　　）
A．i＞10B．i＞11C．i＜=10D．i＜=11
19．i为虚数单位，若$\frac{a}{1-i}$=$\frac{1+i}{i}$，则a的值为-2i．
6．已知点P（a，0），直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）已知a＞1，若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|•|PB|=1，求实数a的值．
3．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则当x∈[-1，1]时，函数f（x）的值域为（　　）
A．[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]B．[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]C．[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]D．[-1，1]
4．设函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{e}$-ax2+（2a-1）x-a，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）若a=0，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若当x≥1时，f（x）≥0，求a的取值范围．

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