Question

6．已知点P（a，0），直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）已知a＞1，若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|•|PB|=1，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，
利用互化公式可得C的直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：${t}^{2}+（\sqrt{3}a-\sqrt{3}）t+{a}^{2}-2a=0$，由△＞0，解得a范围，利用|PA|•|PB|=1=|t₁t₂|，解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），
消去参数t可得x=$\sqrt{3}$y+a．
由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，
利用互化公式可得C的直角坐标方程：x²+y²=2x．
（Ⅱ）把$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），代入x²+y²=2x，
得${t}^{2}+（\sqrt{3}a-\sqrt{3}）t+{a}^{2}-2a=0$，
由△＞0，解得-1＜a＜3．
∴t₁t₂=a²-2a．
∵|PA|•|PB|=1=|t₁t₂|，∴a²-2a=±1，
∵a＞1，∴a=1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．