Question

8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足$f（{\frac{x}{y}}）=f（x）-f（y）$，且当x＞1时，f（x）＜0
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并说明；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer 1

分析 （1）令x=y＞0．得f（1）=f（x）-f（x）；
（2）设x ₁＞x ₂＞0   则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$，f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0
（3）令x=9，y=3⇒f（9）=f（3）+f（3）=-2，
不等式f（|x|）＜-2⇒f（|x|）＜f（9）⇒|x|＞9⇒x＜-9或x＞9

解答 解：（1）令x=y＞0．得f（1）=f（x）-f（x）=0；
（2）设x ₁＞x ₂＞0   则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$，f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0
所以f（x）在（0，+∞）为减函数；
（3）令x=9，y=3⇒f（3）=f（9）-f（3）⇒f（9）=f（3）+f（3）=-2，
∴不等式f（|x|）＜-2⇒f（|x|）＜f（9），
∵f（x）在（0，+∞）为减函数，
∴|x|＞9⇒x＜-9或x＞9
所以原不等式的解集为 {x|x＜-9或x＞9}．

点评 本题考查了抽象函数的赋值法、单调性、解不等式，属于中档题．