Question

在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为 （a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C₁上的点M（1，）对应的参数φ=，曲线C₂过点D（1，）．
（I）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；
（II）若点A（ ρ ₁，θ ），B（ ρ ₂，θ+） 在曲线C₁上，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）将及对应的参数，代入曲线C₁的参数方程，求出a、b的值，可得曲线C₁的方程．把点D的
极坐标化为直角坐标代入圆C₂的方程为（x-R）²+y²=R² ，求得R=1，即可得到曲线C₂的方程．
（II）把A、B两点的极坐标化为直角坐标，代入曲线C₁的方程可得，，从而求得的值．
解答：解：（I）将及对应的参数，代入，得，即，
所以曲线C₁的方程为．
设圆C₂的半径为R，由题意圆C₂的方程为（x-R）²+y²=R² ．
由D的极坐标 ，得，代入（x-R）²+y²=R²，解得R=1，
所以曲线C₂的方程为（x-1）²+y² =1．
（II）因为点A（ρ₁，θ），在曲线C₁上，又点A的直角坐标为（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），
点B的横坐标为ρ₂ cos（θ+）=-ρ₂sinθ，点B的纵坐标为ρ₂sin（θ+）=ρ₂cosθ，
所以，，
所以．（10分）
点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．