Question

已知椭圆：的左、右焦点分别为，它的一条准线为，过点的直线与椭圆交于、两点.当与轴垂直时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的内切圆面积最大时正实数的值.

Answer 1

（1）；（2）.

本试题主要是考查了椭圆的方程的求解以及，三角形的中内切圆的性质的运用，结合向量工具表示面积。
解：（1）当与轴垂直时，　
得 得 即---------------------（2分）
又 解得，，
故所求椭圆的方程为.----------------------------------（2分）
（2）由点，，可设，
① 当与轴垂直时，
依（其中为的内切圆半径）
即　　
得  ，此时可知------------------------------------（2分）
②当与轴不垂直时，
不妨设直线的方程为
代入　得

则　---------------（2分）
从而可得　
又点到直线的距离.
依（其中为的内切圆半径）
即　　-------------------------------------------（2分）
得＝
＝
知在区间上该函数单调递增，
故当时，即直线的斜率不存在时，最大为，亦即的内切圆面积最大.
此时可知综上所求为.----------------------2分