Question

已知椭圆：（），直线为圆：的一条切线并且过椭圆的右焦点，记椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的离心率的取值范围；
（2）若直线的倾斜角为，求的大小；
（3）是否存在这样的，使得原点关于直线的对称点恰好在椭圆上．若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）．      （2）    ．（3）离心率不存在．             

(1)依题意得右焦点在圆上或在圆的外部，因此．根据椭圆中的关系可求得离心率的取值范围；
（2）先求出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，得.根据椭圆中的关系可求得离心率；
（3）设原点关于直线对称的点为，因为原点到直线的距离为，原点到右焦点的距离为，则到原点的距离为，到焦点的距离为．所以 解得，代入椭圆方程可得，易得.与（1）中矛盾，所以不存在.
（1）由题意可知，右焦点在圆上或在圆的外部，因此．
∴，即，也即，解之可得．                    ……2分
（2）依题意，设直线：，由与圆相切得
，即，
∴，解得．                        ……7分
（3）设原点关于直线对称的点为，则到原点的距离为，到焦点的距离为．
由              ……9分
解得，代入椭圆方程可得，易得
这与矛盾，故离心率不存在．                                  ……12分