题目内容
15．已知抛物线C：y2=4x，直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1•k2=-2，则△AOB面积的最小值为（ ）| A． | 4 | B． | 3$\sqrt{2}$ | C． | 4$\sqrt{2}$ | D． | 8$\sqrt{2}$ |
分析 由题意可设直线AB的方程为：x=my+b，与抛物线方程联立可得根与系数的关系、利用斜率公式得出直线AB过定点M（2，0），再利用三角形的面积计算公式即可得出结论．
解答 
解：由题意可设直线AB的方程为：x=my+b
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y2-4my-4b=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=-4b．
∵直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，k1•k2=-2．
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2．
∴y1y2=-8，
∴-4b=-8，
∴b=2．
因此直线AB过定点M（2，0）．
∴△AOB面积S=$\frac{1}{2}×2×$|y1-y2|=$\sqrt{16{m}^{2}+32}$
因此当m=0时，△AOB的面积取得最小值4$\sqrt{2}$．
故选：C．
点评 本题综合考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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5．
如图，已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且$α∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$，则该双曲线离心率e的取值范围为（ ）
如图，已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且$α∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$，则该双曲线离心率e的取值范围为（ ）| A． | $[{\sqrt{2}，\sqrt{3}+1}]$ | B． | $[{\sqrt{3}，2+\sqrt{3}}]$ | C． | $[{\sqrt{2}，2+\sqrt{3}}]$ | D． | $[{\sqrt{3}，\sqrt{3}+1}]$ |
如图，正方形ABCD的边长为2$\sqrt{2}$，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，且FO⊥平面ABCD，FO=$\sqrt{3}$．
3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则△AOB的面积为（ ）
| A． | 2 | B． | 2$\sqrt{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
7．双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的两支分别交于点P、Q．若△PQF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{7}$ | B． | $\sqrt{6}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 7 |