题目内容
7．双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的两支分别交于点P、Q．若△PQF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）| A． | $\sqrt{7}$ | B． | $\sqrt{6}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 7 |
分析 根据双曲线的定义，建立方程关系求出OF1，QF1的大小，利用余弦定理进行求解即可．
解答 
解：作出相应的图象如图：
设△PQF2的边长为x，
则|PF1|-|PF2|=2a，
即|QF1|=2a，
由|QF2|-|QF1|=2a，
则|QF2|=|QF1|+2a=2a+2a=4a，
即x=4a，
∵∠F1QF2=120°，
∴在三角形QF1F2，中，
4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$），
即4c2=4a2+16a2+8a2=28a2，
即c2=7a2，
则c=$\sqrt{7}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$，
故选：A
点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义建立方程关系，以及利用余弦定理结合双曲线离心率的定义是解决本题的关键．
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| A． | 2 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | 3 | D． | $\frac{1}{3}$ |
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| A． | 4 | B． | 3$\sqrt{2}$ | C． | 4$\sqrt{2}$ | D． | 8$\sqrt{2}$ |