题目内容
某商店每天（开始营业时）以每件20元的价格购入甲商品若干（甲商品在商店的保鲜时间为10小时，该商店的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件30元的价格出售，若前8小时内所购进的甲商品没有售完，则商店对没卖出的甲商品将以每件10元的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把甲商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进甲商品）．该商店统计了100天甲商品在每天的前8小时内的销售量，由于某种原因 销售量频数表中的部分数据被污损而不能看清，制成如下表格（注：视频率为概率）．
（Ⅰ）若某天商店购进甲商品5件，试求商店该天销售甲商品获取利润Y的分布列和方差；
（Ⅱ）若商店每天在购进5件甲商品时所获得的平均利润比购进6件甲商品时所获得的平均利润大，求x的取值范围．
| 前8小时内的销售量X（单位：件） | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 频数 | 20 | 20 | x | y |
（Ⅱ）若商店每天在购进5件甲商品时所获得的平均利润比购进6件甲商品时所获得的平均利润大，求x的取值范围．
考点：离散型随机变量的期望与方差,众数、中位数、平均数,极差、方差与标准差
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）当需求量为3时，Y=10×3-2×10=10，当需求量为4时，Y=10×4-1×10=30，当需求量为5时，Y=10×5=50，当需求量为6时，Y=10×5=50，由此能求出商店该天销售甲商品获取利润Y的分布列和方差．
（Ⅱ）求出购进6件甲商品时所获得的平均利润E′Y=40-20x，由已知条件得38＞40-20x，由此能求出x的取值范围．
（Ⅱ）求出购进6件甲商品时所获得的平均利润E′Y=40-20x，由已知条件得38＞40-20x，由此能求出x的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）当需求量为3时，Y=10×3-2×10=10，
当需求量为4时，Y=10×4-1×10=30，
当需求量为5时，Y=10×5=50，
当需求量为6时，Y=10×5=50，
∴Y的分布列为：
EY=10×0.2+30×0.2+50×0.6=38，
DY=（38-10）2×0.2+（30-38）2×0.2+（50-38）2×0.6=256．
（Ⅱ）购进6件甲商品时：
当需求量为3时，Y=10×3-3×10=0，
当需求量为4时，Y=10×4-2×10=20，
当需求量为5时，Y=10×5-1×10=40，
当需求量为6时，Y=10×6=60，
∴购进6件甲商品时所获得的平均利润：
E′Y=0×0.2+20×0.2+40x+60（1-0.4-x）=40-20x，
∵商店每天在购进5件甲商品时所获得的平均利润比购进6件甲商品时所获得的平均利润大，
∴38＞40-20x
解得x＞0.1．又x≤1，
∴x的取值范围是（0.1，1]．
当需求量为4时，Y=10×4-1×10=30，
当需求量为5时，Y=10×5=50，
当需求量为6时，Y=10×5=50，
∴Y的分布列为：
| Y | 10 | 30 | 50 |
| P | 0.2 | 0.2 | 0.6 |
DY=（38-10）2×0.2+（30-38）2×0.2+（50-38）2×0.6=256．
（Ⅱ）购进6件甲商品时：
当需求量为3时，Y=10×3-3×10=0，
当需求量为4时，Y=10×4-2×10=20，
当需求量为5时，Y=10×5-1×10=40，
当需求量为6时，Y=10×6=60，
∴购进6件甲商品时所获得的平均利润：
E′Y=0×0.2+20×0.2+40x+60（1-0.4-x）=40-20x，
∵商店每天在购进5件甲商品时所获得的平均利润比购进6件甲商品时所获得的平均利润大，
∴38＞40-20x
解得x＞0.1．又x≤1，
∴x的取值范围是（0.1，1]．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，解题时要认真审题，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
练习册系列答案
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