Question

14．已知函数f（x）=2^x+a，g（x）=$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$+2．
（1）求函数g（x）的值域；
（2）若a=0，求满足方程f（x）-g（x）=0的x的值．
（3）?x₀∈[1，2]，f（x）+g（x）≥0成立，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）由2^|x|≥1，可得$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$∈（0，1]，进而得到函数g（x）的值域；
（2）若a=0，则方程f（x）-g（x）=0可化为：2^x=$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$+2，解得答案；
（3）若?x₀∈[1，2]，f（x）+g（x）≥0成立，则f（x）+g（x）的最大值不小于0，进而可得a的范围．

解答 解：（1）∵2^|x|≥1，
∴$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$∈（0，1]，
∴g（x）=$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$+2∈（2，3]，
故函数g（x）=$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$+2的值域为（2，3]；
（2）若a=0，则方程f（x）-g（x）=0可化为：2^x=$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$+2，
由（1）得：方程的根在区间（1，log₂3]上，
故方程可化为：2^x=$\frac{1}{{2}^{x}}$+2，即：（2^x）²-2$\overline{•}$2^x-1=0，
解得：2^x=$\sqrt{2}$+1，
x=${log}_{2}（\sqrt{2}+1）$；
（3）令F（x）=f（x）+g（x）=2^x+a+$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$+2．
当x∈[1，2]时，F（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$+a+2；
由对勾函数的图象和性质可得：当x=2时，F（x）取最大值a+$\frac{25}{4}$，
若?x₀∈[1，2]，f（x）+g（x）≥0成立，
则a+$\frac{25}{4}$≥0，
即a≥-$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查的知识点是函数的最值，函数的值域，方程的根与函数的零点，难度中档．