Question

【题目】已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在x0 ， 使x0∈[ ， ]且f（x0）≤g（x0）成立，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+a﹣xlnb

∴h′（x）=lnx+1﹣lnb

由h′（x）＞0得x＞ ，

∴h（x）在（0， ）上单调递减，（ ，+∞）上单调递增．…

（Ⅱ）由 ＜ 得 ＜7 …

（i）当 ≤ ≤ ，即 ≤ ≤ 时，

h（x）min=h（ ）=﹣ +a

由﹣ +a≤0得 ≥e，

∴e≤ ≤ …

（ii）当 ＜ 时，a＞

∴h（x）在[ ， ]上单调递增．

h（x）min=h（ ）= （ln ﹣lnb）+a≥ （ln ﹣lnb）+a= ＞ = b＞0

∴不成立 …

（iii）当 ＞ ，即 ＞ 时，a＜ b

h（x）在[ ， ]上单调递减．

h（x）min=h（ ）= （ln ﹣lnb）+a＜ （ln lnb）+a= ＜ = ＜0

∴当 ＞ 时恒成立 …

综上所述，e≤ ＜7 …

【解析】（I）先对h（x）求导，再令h′（x）＞0，解不等式可得h（x）的单调递增区间，令h′（x）<0，解不等式可得h（x）的单调递减区间；（II）先将已知条件转化为h（x）min0，再对的范围进行讨论可得h（x）min，进而可得的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．