Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（Ⅲ）求证： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f′（x）=ex﹣a

∴a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．

a＞0时，x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），a＞0时，f（x）min=f（lna），∴f（lna）≥0

即a﹣alna﹣1≥0，记g（a）=a﹣alna﹣1（a＞0），∵g′（a）=1﹣（lna+1）=﹣lna，∴g（a）在（0，1）上增，在（1，+∞）上递减，∴g（a）≤g（1）=0

故g（a）=0，得a=1

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）ex≥x+1，即ln（1+x）≤x（x＞﹣1），则x＞0时，ln（1+x）＜x

要证原不等式成立，只需证： ＜2，即证： ＜1，

下证 ≤ ﹣ ①

≤

4（32k﹣23k+1）≥332k﹣43k+1

32k﹣43k+3≥0（3k﹣1）（3k﹣3）≥0，

①中令k=1，2，…，n，各式相加，

得 ＜（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）

= ﹣ ＜1成立，

故原不等式成立．

【解析】（Ⅰ）根据题意先求出函数的导函数，得到导函数的零点，进而得到导函数在各个区间的正负即可求出函数的单调区间。
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中单调性可得f(x)的极小值，由可知该极小值大于等于零，即可得a的值。
（Ⅲ）根据已知提供的函数化为不等式中的元素形式即,根据（Ⅱ）可知ex≥x+1，即得ln（1+x）＜x，由不等式的放缩法可得不等式的左边为),因为分母次数恰为分子的二倍，将和式放缩为错位相消的形式，进而可知放缩为,由此可得证原不等式成立。

【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．