Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+（2﹣a）x﹣a（a∈R）若存在唯一的正整数x0 ， 使得f（x0）＞0，则实数a的取值范围是（　　）
A.[ ， ]
B.（ ， ）
C.（ ， ]
D.（ln3，ln2+1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由题意，a＜ = ﹣（x+1）+4﹣ = ﹣x+3﹣ ，

设h（x）= ﹣x+3﹣ ，

则h′（x）= ，

设g（x）=﹣x2﹣2x﹣ln（x+1）+3，

∴g′（x）=﹣2x﹣2﹣ =﹣ ，

∵2x2+4x+3＞0恒成立，

∴g′（x）＜0恒成立，

∴g（x）单调递减，

∵g（0）=3＞0，g（1）=﹣ln2＜0，

∴g（x）在（0，1）上存在唯一的零点，

即h（x）在（0，1）上有唯一的极值点，且为极大值点，

∵h（1）= ，h（2）= ，

∴要使不等式有唯一的正整数解，需 ≤a≤ ，

所以答案是：A．

【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．