Question

1．设F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，双曲线右支上存在一点P，使得（$\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，且2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=3|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|（O为坐标原点），则双曲线的离心率为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 取PF₂的中点A，利用（$\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，从而可得PF₁⊥PF₂，利用双曲线的定义及勾股定理，由离心率公式计算可得结论．

解答 解：取PF₂的中点A，则$\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow{O{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{OA}$，
∵（$\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，∴2$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∵O是F₁F₂的中点，
∴OA∥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
∵2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=3|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|PF₂|，
∵|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
∴13a²=c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{13}$．
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，利用向量确定PF₁⊥PF₂是关键．