题目内容

16．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$均为单位向量，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$＞0，则|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|的最大值为1$+\sqrt{3}$．

分析 进行数量积的运算，根据条件便可得出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}＜\frac{3}{2}$，可设向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ，从而可以得到$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{c}|cosθ=\sqrt{3}$cos$θ≥-\sqrt{3}$，而$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）^{2}=4-2（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}$，从而可以得出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）^{2}$的最大值，进而便可得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：根据条件：$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{c}}^{2}-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}$=$\frac{3}{2}-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}＞0$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}＜\frac{3}{2}$，$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{c}|•cosθ$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}•1•cosθ=\sqrt{3}cosθ≥-\sqrt{3}$，θ为向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{c}$的夹角；
即$-\sqrt{3}≤（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}＜\frac{3}{2}$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）^{2}=[（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）-\overrightarrow{c}]^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}-2（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}$=$4-2（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}≤4+2\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|≤\sqrt{4+2\sqrt{3}}$=$\sqrt{（1+\sqrt{3}）^{2}}=1+\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$的最大值为1$+\sqrt{3}$．
故答案为：$1+\sqrt{3}$．

点评 考查向量数量积的运算，数量积的计算公式，余弦函数的值域，向量夹角的概念，完全平方式的运用，本题也可通过作图求解．

练习册系列答案
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