Question

10．已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
（1）当a=3时，求方程f（$\frac{27}{x}$）f（3x）=-5的解；
（2）若f（3a-1）＞f（a），求实数a的取值范围；
（3）当a=$\frac{1}{2}$时，设g（x）=f（x）-3^x+4，求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使得g（x）＜0对x∈（λμ，+∞）恒成立．

Answer 1

分析 （1）当a=3时，f（x）=log₃x，f（$\frac{27}{x}$）f（3x）=（log₃27-log₃x）（log₃3+log₃x）=（3-log₃x）（1+log₃x）=-5，解得答案；
（2）分讨论满足不等式f（3a-1）＞f（a）=1的a的范围，综合讨论结果，可得答案；
（3）当a=$\frac{1}{2}$时，g（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$-3^x+4为减函数，且g（x）＜0对x∈（2，+∞）恒成立．进而得到答案．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=log₃x，
∴f（$\frac{27}{x}$）f（3x）=（log₃27-log₃x）（log₃3+log₃x）=（3-log₃x）（1+log₃x）=-5，
解得：log₃x=4，或log₃x=-2，
解得：x=81，或x=$\frac{1}{9}$；
（2）∵f（3a-1）＞f（a）=1，
①当0＜a＜1时，0＜3a-1＜a，解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，
②当a＞1时，3a-1＞a，解得：a＞1，
综上可得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，或a＞1；
证明：（3）当a=$\frac{1}{2}$时，g（x）=f（x）-3^x+4=${log}_{\frac{1}{2}}x$-3^x+4为减函数，
由g（2）=-1-9+4=-6＜0，
故g（x）＜0对x∈（2，+∞）恒成立．
故对任意λ＞0，都存在μ=$\frac{2}{λ}$＞0，使得λμ=2，
即对任意λ＞0，都存在μ＞0，使得g（x）＜0对x∈（λμ，+∞）恒成立．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．