Question

函数f（x）=x²+ax+3，x∈[-2，2]．
（1）若a=2，求f（x）的最值，并说明当f（x）取最值时的x的值；
（2）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用配方法，结合函数的单调性，即可求f（x）的最值；
（2）对于[-2，2]区间内的任意x恒成立，按区间与对称轴的关系分三种情况讨，最后结合图象即可解决问题．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，
∵x∈[-2，2]，
∴x=-1时，函数取得最小值2；x=2时，函数取得最大值11；
（2）当x∈[-2，2]时，设g（x）=x²+ax+3-a≥0，
分如下三种情况讨论（如图所示）：
①如图（1），当g（x）的图象恒在x轴上方时，满足条件时，有△=a²-4（3-a）≤0，即-6≤a≤2．
②如图（2），g（x）的图象与x轴有交点，
当-

a

2

≤-2时，g（x）≥0，即

a2-4(3-a)≥0 - a 2 ≤-2 4-2a+3-a≥0

解之得a∈Φ．
③如图（3），g（x）的图象与x轴有交点，
-

a

2

≥-2时，g（x）≥0，即

a2-4(3-a)≥0 - a 2 ≥2 4-2a+3-a≥0

，解之得-7≤a≤-6
综合①②③得a∈[-7，2]．

点评：本题主要了一元二次不等式恒成立的问题，注考查利用了二次函数图象的特点数形结合解决问题，属于中档题．