题目内容

8．某学校社团招聘工作人员，设置A、B两组测试项目供应聘人员选择，甲、乙、丙、丁四人参加应聘，其中甲、乙、丙三人各自独立参加A组测试，已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为$\frac{1}{2}$，丙通过测试的概率为$\frac{3}{5}$．丁参加B组测试，已知B组共有6道试题，丁会做其中的4道题．丁只能且必须选择4道题作答，答对3道题则竞聘成功．
（Ⅰ）求丁应聘成功的概率；
（Ⅱ）记测试通过的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．

分析 （I）设事件C为丁应聘成功，则由排列组合知识结合等可能事件概率计算公式能求出丁应聘成功的概率．
（II）由题意ξ所有可能的值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．

解答 （16）（本小题满分13分）
（I）设事件C为丁应聘成功，则P（C）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{4}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{3}{5}$．…（4分）
（II）由题意ξ所有可能的值为0，1，2，3，4．…（5分）
P（ξ=0）=（1-$\frac{1}{2}$）2×（1-$\frac{3}{5}$）2=$\frac{1}{25}$，
P（ξ=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{2}^{0}（\frac{2}{5}）^{2}{C}_{2}^{1}\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=2）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{2}^{0}（\frac{2}{5}）^{2}$+${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{2}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{37}{100}$，
P（ξ=3）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{2}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=4）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{2}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{9}{100}$，
所以ξ的分布列为：

ξ01234
P$\frac{1}{25}$$\frac{1}{5}$$\frac{37}{100}$$\frac{3}{10}$$\frac{9}{100}$
…（11分）
所以所求数学期望为Eξ=$0×\frac{1}{25}+1×\frac{1}{5}+2×\frac{37}{100}$+3×$\frac{3}{10}$+$4×\frac{9}{100}$=$\frac{11}{5}$．…（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

练习册系列答案
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3．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为30，则输入的n为（　　）
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13．已知命题p：“若直线x+ay+1=0与直线x-ay+2=0垂直，则a=1”；命题q：“a${\;}^{\frac{1}{3}}$＞b${\;}^{\frac{1}{3}}$是a＞b”的充要条件，则（　　）
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20．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．
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（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．
（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）
17．已知平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2$\sqrt{2}$，∠BAD=135°，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（　　）
A．-6B．-8C．8D．6
18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（2，-1）．
（1）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，求$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$的值；
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