Question

18．如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF=2，四边形EFCB是高为$\sqrt{3}$的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点．
（1）求证：AO⊥CF；
（2）求O到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AO⊥EF，推出AO⊥平面EFCB，即可证明AO⊥CF．
（2）取BC的中点G，连接OG．推出OG⊥BC，OA⊥BC，得到BC⊥平面AOG，过O作OH⊥AG，垂足为H，说明OH⊥平面ABC，O到平面ABC的距离为OH，求解即可．

解答 （1）证明：因为△AEF等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF…（1分）
又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO?平面AEF，平面AEF∩平面EFCB=EF，
所以AO⊥平面EFCB，…（4分）
又CF?平面EFCB，所以AO⊥CF…（5分）
（2）解：取BC的中点G，连接OG．
由题设知，OG⊥BC…（6分）
由（1）知AO⊥平面EFCB，
又BC?平面EFCB，所以OA⊥BC，因为OG∩OA=O，所以BC⊥平面AOG…（8分）
过O作OH⊥AG，垂足为H，则BC⊥OH，因为AG∩BC=G，所以OH⊥平面ABC．
…（10分）
因为$OG=\sqrt{3}，AO=\sqrt{3}$，所以$OH=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
即O到平面ABC的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．（另外用等体积法亦可）…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，空间点、线、面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．