一个摸球游戏.规则如下:在一不透明的纸盒中.装有6个大小相同.颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏.从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球.然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时.游戏费被没收,当所指定的玻璃球出现1次.2次.3次时.参加者可相应获得游戏费的0倍.1倍.k倍的奖励(k∈N*).且游戏费仍退还� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N^*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．
（1）求概率P（X=0）的值；
（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．
（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）

分析（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，由此能求出P（X=0）．
（2）依题意，X的可能取值为k，-1，1，0，分别求出相应的概率，由此求出E（X），进而能求出k的最小值．

解答解：（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，
则P（X=0）=3×$\frac{1}{6}×（\frac{5}{6}）^{2}$=$\frac{25}{72}$．
（2）依题意，X的可能取值为k，-1，1，0，
且P（X=k）=（$\frac{1}{6}$）³=$\frac{1}{216}$，
P（X=-1）=（$\frac{5}{6}$）³=$\frac{125}{216}$，
P（X=1）=3×$（\frac{1}{6}）^{2}×\frac{5}{6}$=$\frac{5}{72}$，
P（X=0）=3×$\frac{1}{6}×（\frac{5}{6}）^{2}$=$\frac{25}{72}$，
∴参加游戏者的收益X的数学期望为：
E（X）=$k×\frac{1}{216}+（-1）×\frac{125}{216}+1×\frac{5}{72}$=$\frac{k-110}{216}$，
为使收益X的数学期望不小于0元，故k≥110，
∴k的最小值为110．

点评本题考查概率的求法，考查满足条件的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的性质的合理运用．