Question

5．如图1，在矩形ABCD中，点E为边AD上靠近D的三等分点，点F为边CD的中点，AB=AE=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．
（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；
（Ⅱ）求四棱锥P-BCFE的体积．

Answer 1

分析 （1）利用折叠前的图形可判断BE⊥EF，由面面垂直的性质可得EF⊥平面PBE，再由线面垂直得面面垂直；
（2）过P做PO⊥BE，由面面垂直的性质及线面垂直的判定得到PO⊥平面BCDE，即PO为四棱锥P-BCFE的高．把S_{四边形BCFE}转化为S_矩形ABCD-S_△ABE-S_△DEF，求值后代入棱锥的体积公式得答案．

解答 （1）证明：∵点E为边AD上靠近D的三等分点，点F为边CD的中点，AB=AE=4，
∴$AB=AE=\frac{2}{3}AD=4$，
∴DE=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵F为CD边的中点，
∴DE=DF，又DE⊥DF，
∴∠DEF=45°，
同理∠AEB=45°，
∴∠BEF=45°，即EF⊥BE，
又平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴EF⊥平面PBE，
EF?平面PEF，
∴平面PBE⊥平面PEF；如图，
在Rt△DEF中，∵ED=DF，∴∠DEF=45°．
在Rt△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°，
∴∠BEF=90°，则EF⊥BE．
∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴EF⊥平面PBE，
∵EF?平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF；
（2）解：过P做PO⊥BE，
∵PO?平面PBE，平面PBE⊥平面BCDE且平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴PO⊥平面BCDE，
四棱锥P-BCFE的高h=PO=$2\sqrt{2}$．
S_{四边形BCFE}=S_矩形ABCD-S_△ABE$-{S}_{△DEF}=6×4-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×2×2=14$，
则${V}_{P-BCFE}=\frac{1}{3}{S}_{四边形BCFE}•h$=$\frac{1}{3}×14×2\sqrt{2}=\frac{28\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．