Question

17．已知ABCD是矩形，AD=2AB，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：DF⊥平面PAF；
（2）若在棱PA上存在一点G，使得EG∥平面PFD，求$\frac{AG}{AP}$的值．

Answer 1

分析 （1）先由条件证得 AF⊥FD、PA⊥FD．再根据直线和平面垂直的判定定理证得DF⊥平面PAF．
（2）过点E，作EH∥FD，交AD于点H，再过H作HG∥PD交PA于G，可得平面EHG∥平面PFD，从而证得EG∥平面PFD．由条件求得$\frac{AG}{AP}$的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在矩形ABCD中，因为AD=2AB，点F是BC的中点，所以∠AFB=∠DFC=45°．
所以∠AFD=90°，即AF⊥DF．…（3分）
又PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥DF，
所以DF⊥平面PAF．…（6分）
（2）过E作EH∥FD交AD于H，
则EH∥平面PFD，且AH=$\frac{1}{4}$AD．
再过H作HG∥PD交PA于G，…（8分）
所以GH∥平面PFD，且AG=$\frac{1}{4}$PA．
所以平面EHG∥平面PFD，…（10分）
所以EG∥平面PFD，从而点G满足$\frac{AG}{AP}=\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．