Question

若直线3ax-by+6=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-6y+1=0所截得的弦长为6，则

1

a

+

4

b

的最小值为（　　）

• A、4
• B、

  9

  2

• C、9
• D、5

Answer 1

考点：基本不等式,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：圆x²+y²+2x-6y+1=0化为（x+1）²+（y-3）²=9，可得C（-1，3），半径r=3．而直线3ax-by+6=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-6y+1=0所截得的弦长为6，等于圆的直径，
可得直线经过圆心，得到a+b=2，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：圆x²+y²+2x-6y+1=0化为（x+1）²+（y-3）²=9，可得C（-1，3），半径r=3．
∵直线3ax-by+6=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-6y+1=0所截得的弦长为6，等于圆的直径，
∴直线经过圆心，∴-3a-3b+6=0，
化为a+b=2．
∴

1

a

+

4

b

=

1

2

(a+b)(

1

a

+

4

b

)=

1

2

(5+

b

a

+

4a

b

)≥

1

2

(5+2

b a × 4a b

)=

9

2

，当且仅当b=2a=

4

3

时取等号．
∴

1

a

+

4

b

的最小值为

9

2

．
故选：B．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．