已数列的前n项和为Sn.且满Sn-1-Sn=2Sn•Sn-1(n∈N*.n≥2).a1=1．(1)求数列{an}的通项公式,(2)设bn=$\frac{1}{{S} {n}}$.Tn=$\frac{1}{{b} {1}{b} {2}}$+$\frac{1}{{b} {2}{b} {3}}$+-+$\frac{1}{{b} {n}{b} {n+1}}$.若Tn＜2m-1对任� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已数列的前n项和为S_n，且满S_n-1-S_n=2S_n•S_n-1（n∈N^*，n≥2），a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，若T_n＜2m-1对任意的正整数恒成立，求m的取值范围．

分析（1）n≥2，由S_n（1+2S_n-1）=S_n-1，由上式知若S_n-1≠0，则S_n≠0，将原式两边同除以S_n•S_n-1，即可求得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，求得S_n=$\frac{1}{2n-1}$，a_n=-2S_n•S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$，当n=1，a₁=1．即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=2n-1，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$，采用“裂项法”即可求得T_n=$\frac{n}{2n+1}$，由T_n＜2m-1，转换成m＞$\frac{1}{2}$×$\frac{3n+1}{2n+1}$，对任意的正整数恒成立，即可求得m的取值范围．

解答解：（1）S_n-1-S_n=2S_n•S_n-1（n∈N^*，n≥2），
∴S_n（1+2S_n-1）=S_n-1，由上式知若S_n-1≠0，则S_n≠0．
∵S₁=a₁≠0，由递推关系知S_n≠0．n∈N^*，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，S₁=a₁=1，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$，（n∈N^*，n≥2），
S_n-1=$\frac{1}{2n-3}$
∴a_n=-2S_n•S_n-1=-$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$，
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{n=1}\\{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=2n-1，
$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，
=$\frac{1}{2}$×[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
T_n＜2m-1，即$\frac{n}{2n+1}$＜2m-1，
即m＞$\frac{1}{2}$×$\frac{3n+1}{2n+1}$，
由$\frac{3n+1}{2n+1}$＜$\frac{3}{2}$，
∴m≥$\frac{3}{4}$．

点评本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，利用导数求函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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