Question

15．已知函数g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+2x
①若g（x）在（-2，-1）内为减函数，求实数a的取值范围；
②若g（x）在区间（-2，-1）内不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 ①求出函数的导数，问题转化为a≤x+$\frac{2}{x}$在（-2，-1）内恒成立，根据函数单调性的性质求出a的范围即可；
②令f（x）=x²-ax+2，由题意得到f（x）在（-2，-1）有零点，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：g′（x）=x²-ax+2，
①若g（x）在（-2，-1）内为减函数，
则x²-ax+2≤0在（-2，-1）内恒成立，
即a≤x+$\frac{2}{x}$在（-2，-1）内恒成立，
令h（x）=x+$\frac{2}{x}$，h′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：-2＜x＜-$\sqrt{2}$，
令h′（x）＜0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜-1，
∴h（x）在（-2，-$\sqrt{2}$）递增，在（-$\sqrt{2}$，-1）递减，
∴h（x）_min=h（-2）或h（-1），
而h（-2）=h（-1）=-3，
故a≤-3；
②令f（x）=x²-ax+2，
若g（x）在区间（-2，-1）内不单调，
则f（x）在（-2，-1）有相异零点，
∴△=a²-8＞0，解得：a＞2$\sqrt{2}$或a＜-2$\sqrt{2}$，
设它的两个零点分别为 x₁，x₂，则x₁•x₂=2＞0，
两根同号，由题意两根均为负数，
∴x₁+x₂=a＜0，∴a＜-2$\sqrt{2}$，
而f（-2）f（-1）=2（a+3）²＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（-1）＞0}\\{-2＜\frac{a}{2}＜-1}\end{array}\right.$，
解得：-3＜a＜-2，
综上，-3＜a＜-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及基本不等式的性质，二次函数的性质，是一道中档题．