Question

如图所示，O为坐标原点，过点P(2,0)且斜率为k的直线L交抛物线y=2x于M(x,y),N(x,y)两点. ⑴写出直线L的方程；⑵求xx与yy的值；⑶求证：OM⊥ON

Answer 1

⑴直线L方程为y=k(x-2)
⑵xx=4,yy=-4
（3）根据已知中直线的方程意义抛物线的方程联立方程组，结合斜率公式来表示求证。

试题分析：解:⑴
（Ⅰ）解：直线l过点P（2，0）且斜率为k，故可直接写出直线l的方程为y=k（x-2） （k≠0）①
（Ⅱ）解：由①及y²=2x消去y代入可得k²x²-2（k²+1）x+4k²=0．②则可以分析得：点M，N的横坐标x₁与x₂是②的两个根，由韦达定理得x₁x₂由韦达定理得x₁x₂= =4.又由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂得到（y₁y₂）²=4x₁x₂=4×4=16，又注意到y₁y₂＜0，所以y₁y₂=-4．（Ⅲ）证明：设OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，则k=,k=.相乘得k k==-1OM⊥ON所以证得：OM⊥ON．
点评：主要是考查了抛物线的方程以及性质和直线与抛物线的位置关系，属于基础题。