Question

已知椭圆：的右焦点，过原点和轴不重合的直线与椭圆 相交于，两点，且，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若圆:的切线与椭圆相交于，两点，当，两点横坐标不相等时，问：与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ） 。
（Ⅱ）， 

试题分析：（Ⅰ）设AB()F(c,0)则
        1分

所以有椭圆E的方程为         5分
（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+m
L与圆相切，∴∴       7分
L的方程为y=kx+m代入中得：
 令，
①  ②　
③        10分

∴               12分
点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）注意到直线斜率存在，通过联立方程组，应用韦达定理，计算向量的数量积为0，证得垂直关系。