Question

已知M (-3，0)﹑N (3，0)，P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m (m，m0)，点P的轨迹加上M、N两点构成曲线C.
求曲线C的方程并讨论曲线C的形状；
(2) 若，曲线C过点Q (2，0) 斜率为的直线与曲线C交于不同的两点A﹑B，AB中点为R，直线OR (O为坐标原点)的斜率为，求证 为定值；
(3) 在(2)的条件下，设，且，求在y轴上的截距的变化范围.

Answer 1

（1）
若m=-1，则方程为，轨迹为圆；
若，方程为，轨迹为椭圆；
若，方程为，轨迹为双曲线
（2）
（3）

试题分析：解：（1）由得点P的轨迹方程为：.
若m=-1，则方程为，轨迹为圆；
若，方程为，轨迹为椭圆；
若，方程为，轨迹为双曲线。          4分
（2）时，曲线C方程为，
设的方程为：，与曲线C方程联立得：，
设，则①，②，
可得，  ∴为定值。        7分
注：①可用点差法证明；②直接用得出结果的，本小题只给1分.
（3）由得代入①②得：③，④，
③式平方除以④式得：，
∵在上单调递增，∴，∴，可得 
又∵在y轴上的截距，∴=，
∴，此即为在y轴上的截距的变化范围。    10分
点评：解决的关键是根据直线与椭圆联立方程组来结合韦达定理来求解，属于中档题。