Question

已知点是双曲线和圆的一个交点，是双曲线的两个焦点，，则双曲线的离心率为

A．

B．

C．2

D．

Answer 1

A              

试题分析：∵双曲线方程为，
∴双曲线的焦点坐标为F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c=，
∵圆方程为x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²
∴该半径等于c，且圆经过F₁和F₂．
∵点P是双曲线与圆x²+y²=a²+b²的交点，
∴△PF₁F₂中，|OP|=c=|F₁F₂|，可得∠F₁PF₂=90°，∵∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，且∠PF₂F₁+∠PF₁F₂=90°，
∴∠PF₁F₂=30°，且∠PF₂F₁=60°，由此可得|PF₁|=c，|PF₂|=c，
根据双曲线定义，可得2a=|PF₁|-|PF₂|=（-1）c，
∴双曲线的离心率e=，故选A。
点评：中档题，在已知焦点三角形中的角度关系下求双曲线的离心率，往往需要探究三角形的特征，结合双曲线的定义，建立方程（组）加以解答。