Question

如图，已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F、F，A是椭圆C上的一点，AF⊥FF，O是坐标原点，OB垂直AF于B，且OF=3OB.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命题“设圆x+y=t上任意点M（x，y）处的切线交椭圆C于Q、Q两点，那么OQ⊥OQ”成立.

Answer 1

（1）椭圆C的离心率为. （2）t=b∈（0，b）使得所述命题成

试题分析：解：（Ⅰ）解法一：由题设AF⊥FF及F（－c，0），F（c，0），不妨设点A（c，y），其中y>0，由于点A在椭圆上，有+=1，
+=1，解得y=，从而得到A.              1分
直线AF的方程为y=（x+c），整理得bx－2acy+bc=0.     2分
由题设，原点O到直线AF的距离为|OF|，即=，   3分
将c=a－b代入原式并化简得a=2b，即a=b.
∴e==.即椭圆C的离心率为.                 4分
解法二：点A的坐标为.                               1分
过点O作OB⊥AF，垂足为B，易知△FBC∽△FFA，
故=.                                           2分
由椭圆定义得|AF|+|AF|=2a，又|BO|=|OF|，
所以=.                                   3分
解得|FA|=，而|FA|=，得=.                    
∴e==.即椭圆C的离心率为.                 4分
（Ⅱ）圆x+y=t上的任意点M（x，y）处的切线方程为xx+yy=t. 5分
当t∈（0，b）时，圆x+y=t上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q、Q，因此点Q（x，y），Q（x，y）的坐标是方程组
的解.                                        6分
（1）当y0时，由①式得y=.代入②式，得x+2=2b，
即（2x+y）x－4txx+2t－2by=0.                        7分
于是x+x=，xx=，
yy=·=
==.
若QQ⊥QQ，则xx+ yy=+==0.
所以，3t－2b（x+y）=0.                               8分
在区间（0，b）内，此方程的解为t=b.              9分
（2）当y=0时，必有x0，
同理求得在区间（0，b）内的解为t=b.              10分
另一方面，当t=b时，可推出xx+ yy=0，从而QQ⊥QQ.        11分
综上所述，t=b∈（0，b）使得所述命题成立.                12分
点评：解决的关键是熟练的根据椭圆的性质来求解方程，同时借助与联立方程组的思想和韦达定理来表示得到参数的取值范围，属于中档题。