Question

已知与函数f（x）=a^x-1+1（a＞0，a≠1）图象关于y=x对称的函数的图象恒过定点A，且点A在直线mx+ny-8=0上，若m＞0，n＞0，则

1

m

+

2

n

的最小值为（　　）

• A、-1
• B、1
• C、2
• D、2

  3

Answer 1

考点：基本不等式,指数函数的单调性与特殊点

专题：不等式的解法及应用

分析：因为函数f（x）=a^x-1+1（a＞0，a≠1）图象恒过定点（1，2）得到关于y=x对称的定点A（2，1），将其代入得到2m+n=8，将

1

m

+

2

n

写成

1

8

（2m+n）（

1

m

+

2

n

）
利用基本不等式求出最小值．

解答： 解：因为函数f（x）=a^x-1+1（a＞0，a≠1）图象恒过定点（1，2）
又关于y=x对称的函数的图象恒过定点A，
所以A（2，1），点A在直线mx+ny-8=0上，
所以2m+n-8=0，
所以2m+n=8，
所以

1

m

+

2

n

=

1

8

（2m+n）（

1

m

+

2

n

）
=

1

8

（4+

4m

n

+

n

m

）
≥

1

8

(4+2

4m n • n m

)=1，当且仅当

4m

n

=

n

m

即n=2m=4时取等号；
所以

1

m

+

2

n

的最小值为1．
故选：B．

点评：当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．