Question

已知m＞0，命题P：定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=e^x，且2f（x）＜e^x+m对任意x∈[ln

1

2

，2]恒成立；命题Q：函数y=log_mx在其定义域上为减函数，若“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：将命题P化简，于是得￢P，将命题Q化简，于是得￢Q，由“P或Q”为直命题，“P且Q”为假命题知，“P∧（￢Q）”成立，或“（￢P）∧Q”成立，从而由交、并集原则得实数m的取值范围．

解答： 解：当P为真命题时，由f（x）+g（x）=e^x，…①
得f（-x）+g（-x）=e^-x．
∵f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴f（x）-g（x）=e^-x，…②
①+②，得2f（x）=e^x+e^-x．
又2f（x）＜e^x+m对任意x∈[ln

1

2

，2]恒成立，
∴e^x+e^-x＜e^x+m即m＞

1

ex

对任意x∈[ln

1

2

，2]恒成立．
设h（x）=

1

ex

，则只需m＞[h（x）]_max，
显然h（x）在[ln

1

2

，2]上为减函数，∴[h（x）]_max=h（ln

1

2

）=2，
∴m＞2，即命题P：m＞2，又m＞0，则命题￢P：0＜m≤2．
当命题Q为真命题时，易知0＜m＜1，即命题Q：0＜m＜1，则命题￢Q：m≥1．
由题意知，“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，则命题P、Q必为一真一假，
（1）当“P∧（￢Q）”成立时，有{m|m＞2}∩{m|m≥1}={m|m＞2}．
（2）当“（￢P）∧Q”成立时，有{m|0＜m≤2}∩{m|0＜m＜1}={m|0＜m＜1}．
故实数m的取值范围是m＞2或0＜m＜1．

点评：1．本题涉及不等式恒成立问题，一般有如下规则：
（1）若f（x）在区间D内有m≥f（x）恒成立，则m≥[f（x）]_max；
（2）若f（x）在区间D内有m≤f（x）恒成立，则m≤f（x）]_min．
应注意的是，当f（x）的最值不存在或条件中不含等于号时，最终m不一定能取到等于号，所以具体问题要具体分析，不可照搬上述规则．
2．本题考查了复合命题真假的判断，应掌握其判断方法：
（1）“或命题”的真假判断：一真为真，两假才假；
（2）“且命题”的真假判断：一假为假，两真才真；
（3）“非命题”的真假判断：￢P与P一真一假．
理解逻辑联结词时，可与集合中的“交、并、补”集运算联系起来，“或”相当于集合中的“并”，“且”相当于集合中的“交”，“非”相当于集合中的“补”．