Question

12．如图所示，在三棱锥PABQ中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．求证：
（1）求证：AB∥GH．
（2）若三棱锥P-ABQ为正四面体，且棱长为2，求多面体ADGE-BCHF的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出EF∥AB，DC∥AB．从而EF∥DC．进而EF∥平面PCD．再求出EF∥GH，由此能证明AB∥GH．
（2）设正四面体三棱锥P-ABQ的体积为V，由${V_{ADGE-BCHF}}=V-\frac{1}{4}V-\frac{5}{36}V$，能求出多面体ADGE-BCHF的体积．

解答 证明：（1）∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
∴EF∥AB，DC∥AB．∴EF∥DC．
又EF?平面PCD，DC?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
又EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，
∴EF∥GH．又EF∥AB，∴AB∥GH．
解：（2）设正四面体三棱锥P-ABQ的体积为V，
则V=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2×sin60°）$×$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2}{3}\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵${V_{P-EFQ}}=\frac{1}{4}V，{V_{Q-CDGH}}=\frac{5}{36}V$，
∴${V_{ADGE-BCHF}}=V-\frac{1}{4}V-\frac{5}{36}V=\frac{11}{18}V=\frac{{11\sqrt{2}}}{27}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查两个三棱锥的体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．