Question

选做题
（1）（矩阵与变换选做题）已知矩阵M=

1 0 0 2

，曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线C，则C的方程是

 

．
（2）（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点（2，

π

2

）到直线ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的距离是

 

．
（3）（不等式选讲选做题）若关于x的不等式|x-1|-|x+2|≥a的解集为R，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,二阶矩阵,点的极坐标和直角坐标的互化

专题：综合题

分析：（1）设（x，y）是曲线y=sinx上任意一点，点（x，y）在矩阵M对应的变换作用下变为（x'，y'），依题意可求得

x=x′ y=- 1 2 y′

，利用点（x，y）在曲线y=sinx上，即可求得答案；
（2）将极坐标方程ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0转换为直角坐标方程y+x=0，极坐标中的点（2，

π

2

）转化为直角坐标系中的点（0，2），利用点到直线间的距离公式即可求得答案；
（3）构造函数g（x）=|x-1|-|x+2|，可求得g（x）_min，依题意，a＜g（x）_min恒成立，从而可求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）由已知得M=

1 0 0 2

，
设（x，y）是曲线y=sinx上任意一点，
点（x，y）在矩阵M对应的变换作用下变为（x'，y'），
则有

1 0 0 2

x′ y′

=

x′′ y′′

，即

x′ -2y′

=

x′′ y′′

，
所以

x=x′ y=- 1 2 y′

因为点（x，y）在曲线y=sinx上，
从而-

1

2

y′=sinx′，即y′=-2sinx′．
所以曲线C的方程为y=-2sinx．
（2）∵ρsin（θ+

π

4

)+

2

=0=0，
∴ρ（

2

2

sinθ+

2

2

cosθ）=0，
∴y+x=0，
∴点（2，

π

2

）到直线ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的距离?点（0，2）到直线y+x=0的距离，
∵点（0，2）到直线y+x=0的距离d=

2

2

=

2

，
∴点（2，

π

2

）到直线ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的距离是

2

；
（3）令g（x）=|x-1|-|x+2|，则|x-1|-|x+2|≥a的解集为R?a≤g（x）_min恒成立，
∵g（x）=|x-1|-|x+2|=

3，x≤-2 -2x-1，-2＜x＜1 -3，x≥1

，
∴g（x）_min=-3，
∴a≤-3．
∴实数a的取值范围是（-∞，-3）．
故答案为：（1）y=-2sinx；（2）

2

；（3）（-∞，-3]．

点评：本题考查二阶矩阵，考查点的极坐标和直角坐标的互化，将极坐标方程转换为直角坐标方程是关键，考查点到直线间的距离，考查绝对值不等式，属于中档题．