Question

7．如图4，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°．PA⊥平面ABCD，E为PC中点．
（Ⅰ）求证：平面BED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面PBA与平面EBD所成二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明面面垂直一般利用面面垂直的判定定理故可连接EO可利用中位线定理证得EO∥PC再结合PC⊥平面ABCD可得EO⊥平面ABCD即可得证．
（Ⅱ）过B作BM⊥平面ABCD，连结PM，ME，说明∠ABO计算平面PBA与平面EBD所成二面角的平面角，利用已知条件求出角的大小，即可求解余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：连结AC交BD于点O，连结OE，则O是AC的中点．
又知E是AP中点
∴EO∥PC，
∵PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．
又知OE?平面BDE，
∴平面EBD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：过B作BM⊥平面ABCD，连结PM，ME，如图，
由（Ⅰ）可知，PA∥EO∥MB，
则MB是平面PBA与平面EBD的交线，可得MB⊥AB，MB⊥BO，
∠ABO计算平面PBA与平面EBD所成二面角的平面角，
四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°．可知：∠ABO=30°
cos∠ABO=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
平面PBA与平面EBD所成二面角（锐角）的余弦值：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查PA⊥平面ABCD的证明，考查二面角A-PB-C的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．