Question

16．已知函数f（x）=lnx+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x
（1）判断f（x）是否为定义域上的单调函数，并说明理由
（2）设x∈（0，e]，f（x）-mx≤0恒成立，求m的最小整数值．

Answer 1

分析 （1）f（x）定义域上的单调函数．求出导数，判断符号，即可得到结论；
（2）由题意可得m≥$\frac{f（x）}{x}$恒成立，在（0，e]恒成立，求得h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{2}$的导数，判断符号，运用单调性求得最大值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）f（x）为定义域上的单调增函数．
∵f（x）=lnx+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=$\frac{{x}^{2}-x+2}{2x}$=$\frac{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}}{2x}$＞0，
∴f（x）为定义域上的单调增函数
（2）∵x∈（0，e]，f（x）-mx≤0恒成立，等价于m≥$\frac{f（x）}{x}$恒成立，
即m≥[$\frac{f（x）}{x}$]_max，
令h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{2}$，
∴h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{4}$＞0，则h（x）在（0，e]上单调递增，
∴h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{e}{4}$-$\frac{1}{2}$∈（0，1），
∴m的最小整数值为1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查运算能力，属于中档题．