Question

6．已知a∈R，函数f（x）=x²-2ax+5．
（1）若不等式f（x）＞0对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域都是[1，a]，求实数a的值；
（3）函数f（x）在区间[1，a+1]的最大值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）利用平顶山列出关系式求解即可．
（2）根据一元二次函数定义域和值域之间的关系进行判断即可．
（3）对对称轴分类讨论，得到最大值．

解答 解：（1）a∈R，函数f（x）=x²-2ax+5．开口向上，
不等式f（x）＞0对任意的x∈R恒成立，
可得：4a²-20＜0，解得a∈（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
（2）函数f（x）=x²-2ax+5的对称轴为x=a，
则函数在[1，a]上为减函数，
∵函数的值域为[1，a]，
∴f（a）=1，
即a²-2a²+5=1，
即a²=2，
解得a=-$\sqrt{2}$（舍）或a=$\sqrt{2}$．
（3）函数f（x）=x²-2ax+5的对称轴为x=a，开口向上，
①当a≤1+$\frac{a}{2}$，即a≤2时，f（x）在区间[1，a+1]上的最大值为f（1+a）=6-a²；
②a＞2时，f（x）在区间[1，a+1]上的最大值为f（1）=6-2a．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6-2a，a＞2}\\{6-{a}^{2}，a≤2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数定义域和值域的应用，根据一元二次函数单调性的性质是解决本题的关键．