在平面直角坐标系xOy中.椭圆W:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2．O为坐标原点.椭圆过点M(0.1).离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.直线y=kx+m与椭圆交于A.C两点.B为椭圆上一点．(1)求椭圆标准方程．(2)用反证法证明:当点B不是W的顶点时.四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．O为坐标原点，椭圆过点M（0，1），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直线y=kx+m（m≠0）与椭圆交于A，C两点，B为椭圆上一点．
（1）求椭圆标准方程．
（2）用反证法证明：当点B不是W的顶点时，四边形OABC是不可能为菱形．

分析（1）根据已知，构造关于a，b，c的方程组，解得椭圆标准方程．
（2）假设四边形OABC为菱形．根据已知得到矛盾，可得四边形OABC是不可能为菱形．

解答解：（1）∵椭圆过点M（0，1），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}\\{b}^{2}=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=4\\{b}^{2}=1\\{c}^{2}=3\end{array}\right.$
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1 （4分）
证明：（2）假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，四边形OABC为菱形所以AC⊥OB，m≠0
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$消y并整理得
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．（6分）
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则
$\frac{x1+x2}{2}$=-$\frac{4km}{1+4k2}$，
$\frac{y1+y2}{2}$=k•$\frac{x1+x2}{2}$+m=$\frac{m}{1+4k2}$．
所以AC的中点为M（-$\frac{4km}{1+4k2}$，$\frac{m}{1+4k2}$）．（8分）
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，
所以直线OB的斜率为-$\frac{1}{4k}$．（11分）
因为k•（-$\frac{1}{4k}$）≠-1，所以AC与OB不垂直．
所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．（11分）
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．（12分）