Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=2，a₂=6，且对?n∈N⁺，都有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-a_n，证明数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$•3ⁿ}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，即b_n+1-b_n=2，则数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{b_n}的通项公式，结合b_n=a_n+1-a_n，利用累加法求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）把数列{a_n}的通项公式代入{$\frac{{a}_{n}}{n}$•3ⁿ}，利用错位相减法求得数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$•3ⁿ}的前n项和T_n．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n+2=2a_n+1-a_n+2，∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，
∴（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
即b_n+1-b_n=2，则数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）解：∵a₁=2，a₂=6，∴b₁=a₂-a₁=4，d=2，
∴b_n=4+2（n-1）=2n+2，
又b_n=a_n+1-a_n，
∴当n≥2时，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2n-2，…，a₂-a₁=4，累加有${a}_{n}-{a}_{1}={n}^{2}+n-2$，
则${a}_{n}={n}^{2}+n$（n≥2）．
a₁=2也符合上式，则对?n∈N⁺，${a}_{n}={n}^{2}+n$；
（Ⅲ）解：$\frac{{a}_{n}}{n}$•3ⁿ =（n+1）•3ⁿ，
∴${T}_{n}=2•3+3•{3}^{2}+…+（n+1）•{3}^{n}$，
$3{T}_{n}=2•{3}^{2}+…+n•{3}^{n}+（n+1）•{3}^{n+1}$，
$-2{T}_{n}=2•3+{3}^{2}+{3}^{3}+…+{3}^{n}-（n+1）{3}^{n+1}$=$\frac{3-（2n+1）•{3}^{n+1}}{2}$，
∴${T}_{n}=\frac{（2n+1）•{3}^{n+1}-3}{4}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．