Question

设函数f（x）=x³-3ax²+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切与点（1，-11）．
（1）求a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并求函数的极值；
（3）若函数在（m，m²+2m）上为减函数，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导数，解方程组求出即可，（2）求出导函数解不等式求出单调区间，从而求出函数的极值，（3）解方程组即可解出m的范围．

解答： 解：（1）求导得f′（x）=3x²-6ax+3b．
由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：
1-3a+3b=-11①，
3-6a+3b=-12②，
由①②解得：a=1，b=-3；
（2）由a=1，b=-3得：
f（x）=x³-3x²-9x，
f′（x）=3x²-6ax+3b=3（x²-2x-3）=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；
又令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故当x∈（-∞，-1）时，f（x）是增函数，
当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数，
但当x∈（-1，3）时，f（x）是减函数．
∴f（x）_极大值=f（-1）=5，f（x）_极小值=f（3）=-27．
（3）由题意得：

m≥-1 m2+2m≤3 m2+2m＞m

，
解得0＜m≤1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，是一道比较基础的题．