Question

已知点P为抛物线y=

1

2

x²上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（6，

17

2

），则|PA|+|PM|的最小值是（　　）

• A、8
• B、

  19

  2

• C、10
• D、

  21

  2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为P到准线与P到A点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，进而推断出P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，利用两点间距离公式求得|FA|，则|PA|+|PM|可求．

解答： 解：依题意可知，抛物线y=

1

2

x²即抛物线2y=x²焦点为（0，

1

2

），准线方程为y=-

1

2

，
只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值

1

2

不会影响讨论结果），
由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，
此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可（F为曲线焦点），
显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，
由两点间距离公式得|FA|=

62+( 17 2 - 1 2 )2

=10，
那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|-

1

2

=

19

2

故选：B．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析推理能力．