题目内容
20．已知不恒为零的函数f（x）在定义域[0，1]上的图象连续不间断，满足条件f（0）=f（1）=0，且对任意x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）-f（x2）|≤$\frac{1}{3}$|x1-x2|，则对下列四个结论：①若f（1-x）=f（x）且0≤x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{20}$x（x-$\frac{1}{2}$），则当$\frac{1}{2}$＜x≤1时，f（x）=$\frac{1}{20}$（1-x）（$\frac{1}{2}$-x）；
②若对?x∈[0，1]都有f（1-x）=-f（x），则y=f（x）至少有3个零点；
③对?x∈[0，1]，|f（x）|≤$\frac{1}{6}$恒成立；
④对?x1，x2∈[0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤$\frac{1}{6}$恒成立．
其中正确的结论个数有（ ）
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
分析 根据已知中f（0）=f（1）=0，且对任意x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）-f（x2）|≤$\frac{1}{3}$|x1-x2|，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
解答 解：由f（1-x）=f（x）得函数f（x）图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
若0≤x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{20}$x（x-$\frac{1}{2}$），则当$\frac{1}{2}$＜x≤1时，f（x）=$\frac{1}{20}$（1-x）（$\frac{1}{2}$-x），故①正确；
∵f（1-x）=-f（x），故函数图象关于（$\frac{1}{2}$，0）对称，
又由f（0）=f（1）=0，
故函数f（x）至少有3个零点0，$\frac{1}{2}$，1．故②正确；
∵当0≤x≤$\frac{1}{2}$时，|f（x）|≤$\frac{1}{3}$x≤$\frac{1}{6}$；
当$\frac{1}{2}$＜x≤1时，则1-x≤$\frac{1}{2}$，
|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤$\frac{1}{3}$（1-x）≤$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．
∴?x∈[0，1]，|f（x）|≤$\frac{1}{6}$恒成立，故③正确，
设?x1，x2∈[0，1]，当|x1-x2|≤$\frac{1}{2}$时，|f（x1）-f（x2）|≤$\frac{1}{3}$|x1-x2|≤$\frac{1}{6}$，
当|x1-x2|＞$\frac{1}{2}$时，|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|
≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|≤$\frac{1}{3}$|x1-0|+$\frac{1}{3}$|1-x2|
=$\frac{1}{3}$×1+$\frac{1}{3}$（1-x2）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$（x2-x1）≤$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．故④正确
故选D．
点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的对称性，函数恒成立，函数的零点，绝对值三角不等式等知识点，难度中档．
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如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．
如图，在△ABC中，AB=2，cosB=$\frac{1}{3}$，点D在线段BC上．| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 1+$\sqrt{2}$ | D． | 1+$\sqrt{3}$ |