Question

15．已知点A是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a，b＞0）右支上一点，F是右焦点，若△AOF（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1+$\sqrt{2}$
• D． 1+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用已知条件求出A坐标，代入双曲线方程，可得a、b、c，关系，然后求解离心率即可．

解答 解：依题意及三角函数定义，点A（ccos$\frac{π}{3}$，csin$\frac{π}{3}$），即A（$\frac{1}{2}c$，$\frac{\sqrt{3}}{2}c$），
代入双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
可得  b²c²-3a²c²=4a²b²，又c²=a²+b²，得e²=4+2$\sqrt{3}$，e=$\sqrt{3}+1$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．