Question

11．已知$\overrightarrow m=（-2sinx，cosx）$，$\overrightarrow{n}$=（cosx，2sin（x+$\frac{π}{2}$）），且函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1
（1）求方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x₁，x₂，并求f（x₁+x₂）的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）图象，求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）解析式并利用三角函数恒等变换化简，列出方程解出，
（2）利用函数的图象变换规律写出g（x）的解析式，结合余弦函数的性质列不等式解出．

解答 解：（1）f（x）=-2sinxcosx+2sin（x+$\frac{π}{2}$）cosx+1=2cos²x-sin2x+1=cos2x-sin2x+2=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+2．
∵f（x）-1=0，∴cos（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∵x∈（0，π），∴x₁=$\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{π}{2}$，
∴f（x₁+x₂）=f（$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos$\frac{7π}{4}$+2=3．
（2）g（x）=$\sqrt{2}$cos（[2（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]+2+2=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{11π}{12}$）+4．
则g（x）的单调递增区间：令-π+2kπ≤2x+$\frac{11π}{12}$≤2kπ，解得kπ-$\frac{23π}{24}$≤x≤kπ-$\frac{11π}{24}$，
∴函数g（x）的单调增区间是[kπ-$\frac{23π}{24}$，kπ-$\frac{11π}{24}$]，k∈Z．

点评 本题考查了平面向量与三角函数的综合，三角函数恒等变换，属于中档题．