Question

已知直线m：y=2x-16，抛物线C：y²=ax（a＞0）．
（1）当抛物线C的焦点在直线m上时，确定抛物线C的方程；
（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标y=8，△ABC的重心恰在抛物线C的焦点上，求直线BC的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）把抛物线的焦点（

a

4

，0）代入y=2x-16可求；
（2）易求A的坐标，由重心坐标公式可得

xB+xC=22 yB+yC=-8

，再由平方差法可得直线BC斜率，由分点坐标公式可得中线AF与BC交点坐标，再由点斜式可得所求直线方程；

解答： 解：（1）∵抛物线的焦点为（

a

4

，0），代入y=2x-16，得a=32．
∴抛物线方程为y²=32x．
（2）∵y_A=8，∴x_A=2．
∵F（8，0）为△ABC的重心，
∴

xA+xB+xC 3 =8 yA+yB+yC 3 =0

，则

xB+xC=22 yB+yC=-8

，
又

yB2=32xB yC2=32xC

，∴（y_B+y_C）（y_B-y_C）=32（x_B-x_C）⇒

yB-yC

xB-xC

=

32

yB+yC

=-4=k_BC，
又中线AF与BC交点坐标x=

xA-3xF

1-3

=11，y=

yA-3yF

1-3

=

8-0

-2

=-4，
∴BC的直线方程为y+4=-4（x-11），即4x+y-40=0．

点评：该题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查学生的运算求解能力．涉及“弦中点”问题，可以考虑“平方差法”解决．