Question

已知函数f（x）=a₁sin（ωx+φ₁）+a₂sin（ωx+φ₂）+…+a_ksin（ωx+φ_k），（a_i∈R，i=1，2，3，…k）
．若f²（0）+f²（

π

2ω

）≠0，且函数f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称，并在x=π处取得最小值，则正实数ω的值构成的集合是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：首先把函数f（x）转化成f（x）=msinωx+ncosωx=

m2+n2

sin(ωx+φ)进一步利用函数f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称，求出

π

2

ω+φ=kπ(k∈Z)，在x=π处取得最小值，πω+φ=2n+

3π

2

，最后求
ω=2k+1

解答： 解：函数f（x）=a₁sin（ωx+φ₁）+a₂sin（ωx+φ₂）+…+a_ksin（ωx+φ_k）=a₁（sinωxcosΦ₁+cosωxsinΦ₁）+a₂（sinωxcosΦ₂+cosωxsinΦ₂）+…+a_n（sinωxcosΦ_n+cosωxsinΦ_n=sinωx（a₁cosφ₁+…+a_ncosφ_n）+cosωx（a₁sinφ₁+…+a_nsinφ_n）
由于f²（0）+f²（

π

2ω

）≠0
所以：a₁cosφ₁+…+a_ncosφ_n=0与a₁sinφ₁+…+a_nsinφ_n=0不能同时成立．
故设a₁cosφ₁+…+a_ncosφ_n=m，a₁sinφ₁+…+a_nsinφ_n=n
则：f（x）=msinωx+ncosωx=

m2+n2

sin(ωx+φ)（m²+n²≠0）
函数f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称
由于sin(

π

2

ω+φ)=0 

π

2

ω+φ=kπ(k∈Z)①
在x=π处取得最小值，
sin（πω+φ）=-1  πω+φ=2n+

3π

2

（n∈Z）②
由①②得：ω=（4n-2k）+3
由于n、k为整数，所以4n-2k为偶数．
ω=2k+1（k∈Z）
故答案为：{ω|ω=2k+1（k∈Z）}

点评：本题考查的知识要点：函数的恒等变换，对称性和最值在正弦型函数中的应用．