Question

17．已知抛物线C：y=mx²（m＞0），焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，求抛物线的方程．

Answer 1

分析 联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=m{x}^{2}}\\{2x-y+2=0}\end{array}\right.$，得mx²-2x-2=0，由根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、直角三角形的性质推导出m=2，由此能求出抛物线的方程．

解答 解：联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=m{x}^{2}}\\{2x-y+2=0}\end{array}\right.$，消去y得mx²-2x-2=0，
依题意，有△=（-2）²-4×m×（-2）＞0，解得m＞-$\frac{1}{2}$，
设A（x₁，m${{x}_{1}}^{2}$），B（x₂，$m{{x}_{2}}^{2}$），则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{m}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{2}{m}}\end{array}\right.$，（*）
∵P是线段AB的中点，∴P（$\frac{x1+x2}{2}$，$\frac{m{{x}_{1}}^{2}+m{{x}_{2}}^{2}}{2}$），即P（$\frac{1}{m}$，y_P），∴Q（$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{m}$）．
得$\overrightarrow{QA}$=（x₁-$\frac{1}{m}$，m${{x}_{1}}^{2}$-$\frac{1}{m}$），$\overrightarrow{QB}$=（x₂-$\frac{1}{m}$，m${{x}_{2}}^{2}$-$\frac{1}{m}$），
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，
则$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=0，即（x₁-$\frac{1}{m}$）•（x₂-$\frac{1}{m}$）+（${{x}_{1}}^{2}$-$\frac{1}{m}$）（m${{x}_{2}}^{2}$-$\frac{1}{m}$）=0，
结合（*）化简得-$\frac{4}{m2}$-$\frac{6}{m}$+4=0，即2m²-3m-2=0，∴m=2或m=-$\frac{1}{2}$，
而2∈（-$\frac{1}{2}$，+∞），-$\frac{1}{2}$∉（-$\frac{1}{2}$，+∞）．∴m=2
∴抛物线的方程y=2x²．

点评 本题考查抛物线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、直角三角形的性质的合理运用．